四川公务员考试：必考不定方程

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　　四川公务员考试：必考不定方程

　　华图教育 左宏帅

　　无论国考还是联考、四川省公务员考试，不定方程是数学运算历年考查的重点题型，也是令很多考生畏惧的难点题型。华图公务员考试研究中心以近几年的省考为例，对不定方程这一模块常用的方法进行详细的解析与命题趋势分析，以备考生需要。

　　题型一：代入排除法

　　【例1】1分、2分和5分的硬币共100枚，价值2元，如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分，那么三种硬币各多少枚?( )

　　A.51、32、17 B.60、20、20

　　C.45、40、15 D.54、28、18

　　【解析】不定方程zui基本的方法是代入排除法。本题中将选项代入，发现只有A选项满足2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分。所以，本题答案为A选项。

　　【练习】装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个?( )

　　A. 3，7 B. 4，6

　　C. 5，4 D. 6，3

　　【解析】思路与例1完全相同，直接代入选项，只有A选项满足89个产品。
 

　　题型二：数字特性法

　　近来比较喜欢考查在不定方程的基础上，外加一个条件，这个条件可以是明显的条件或者暗含在题干信息中。对于此种类型的不定方程，优先考虑奇偶特性，然后考虑尾数特性。

　　【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )

　　A.36 B.37

　　C.39 D.41

　　【解析】假设每名钢琴老师带的学生数是x，拉丁舞老师带的学生数为y，则本题就是在不定方程5x+6y=76

的基础上，加了x、y都是质数这个条件，要根据数字特性来寻求满足该不定方程的解。先考虑奇偶特性，76是偶数，6y是偶数，则5x是偶数，而5是奇数，所以x是偶数，并且是质数，因此x=2，代入方程，y=11。所以4×2+3×11=41，本题选择D选项。

　　【练习】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?( )

　　A.3 B.4

　　C.7 D.13

　　【解析】此题与例2属于同一类型。假设大、小包装盒的个数分别为x、y，在不定方程12x+5y=99的基础上，加了一个条件10<x+y<20。同样考虑奇偶特性，12x是偶数，99是奇数，则5y是奇数，但是满足此条件的y的取值比较多。所以该题需要考虑尾数特性，5y是奇数，则尾数必须是5，12x的尾数为4，x=2或者7。x=2，y=15满足条件，差为13。而x=7，y=3，和为10，不满足条件，排除。本题选择D选项。
 

　　题型三：赋0法 或者消元法

　　三元一次不定方程组，在求解一个式子的类型中，可以将其中一个未知数赋为0，或者消掉一个未知数，从而转化为二元一次方程来求解。

　　【例3】甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元，如果购买甲4件、乙10件、丙1件需花4.20元，那么购买甲、乙、丙各1件需花多少钱?( )

　　A.1.05元 B.1.40元

　　C.1.85元 D.2.10元

　　【解析】假设甲、乙、丙1件的价钱分别为x、y、z，则根据题意，可以列得不定方程组为：

，本题要求的x+y+z的值，而此值为定值。所以可以赋y=0，则解得x=1.05，z=0，则x+y+z=1.05，答案为A选项。本题也可以采用消元法，将第*个方程×3-第二个方程×2=x+y+z=1.05。

　　【练习】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?( )

　　A.21元 B.11元

　　C.10元 D.17元

　　【解析】本题与例3属于同一类型。假设1支签字笔、圆珠笔、铅笔的价钱分别为x、y、z，可以列得不定方程组为：，本题要求x+y+z的取值，此值为定值。所以赋y=0，则解得x=11，z=-1，则x+y+z=10。本题也可以采用消元法，将第*个方程×3-第二个方程×2=x+y+z=10。答案为C选项。
 

　　题型四：特殊因子法

　　三元一次不定方程，求解的不是一个式子的时候，可以采用特殊因子法。

　　【例4】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中zui多有几人买了水饺?( )

　　A.1 B.2

　　C.3 D.4

　　【解析】假设盖饭、水饺、面条各购买了x、y、z份，则根据题意有：，根据第二个方程15x、9z、60都是3的倍数，所以7y也是3的倍数，y是3的倍数，又是小于6的整数，因此y=3，本题答案为C选项。

　　【小结】

　　不定方程的主要方法不外乎五类：代入排除法、数字特性法、赋0法、消元法、特殊因子法，五种方法并不具有排他性，也可结合起来使用。基本题型分四种：

　　1. 题目如果只列不定方程或者不定方程组，没有给定显性条件，则优先考虑代入排除法;

　　2. 题目如果只列二元一次不定方程，外加条件，一般考虑数字特性法：优先奇偶特性，然后考虑尾数特性;

　　3. 题目如果是三元一次不定方程组，求解一个为定值的式子，则用赋0法 或者消元法;

　　4. 题目如果是三元一次不定方程组，求解一个未知数，则可以用特殊数字法。

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（编辑：Paelin）