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2022四川公务员326考前冲刺-数量2 几何概率

2022-03-22 21:35:12 公务员考试网 https://sc.huatu.com/ 加备考QQ群热加微信领资料领 APP模考刷题爆文章来源：四川华图

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近几年概率问题考查的越来越多，其中几何概率也随之成为一个小的热点模型。几何概率的本质非常简单，考试题目难度一般不大，如果掌握了几何概率的本质则很容易拿到这部分题目的分数。
先来看定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
这个定义的本质其实就是在一个几何维度中，每一个点被取到的机会都一样。相对于基础的概率公式，把可以计数的“满足条件的情况数”变成了不可计数的“满足条件的长度/面积/体积”，将等可能事件的概念从有限向无限进行了延伸，也是初中学习的内容。那么几何概率的式就变成了

。
【例1】射击用的靶子是由若干个同心圆组成，最中心的圆代表10环，而10环外圈的一个圆环代表9环。在随机射击时，若要使得击中10环和9环的概率相同，那么10环外圈半径与9环外圈半径的比值为：

【答案】D
【解析】第一步，本题考查几何概率。
第二步，要使得击中10环和9环的概率相同，根据几何概率基本公式，则10环和9环的面积相同。如下图所示，设10环外圈的半径为r₁，9环外圈的半径为r₂，根据面积相等有πr₁²=πr₂²－πr₁²，整理得

因此，选择D选项。
在圆形区域内考查几何概率比较多见，需要根据圆内各个半径计算面积的比值从而计算概率。2018年上半年多省市联考也考到了这样一道几何概率：
【例2】小波通过往圆圈里投掷米粒（米粒本身长度不计，视为一个点）的方式决定自己的周末活动。经过试验，他将米粒投进圆圈内的成功率达到100%，但投掷在圆内的位置随机。如果米粒到圆心的距离大于圆半径的一半，那么他周末去看电影；若米粒到圆心的距离小于半径的1/4，他会去打篮球；否则，他将在家看书。据此可知小波周末不在家看书的概率为：
A.13/16
B.2/5
C.3/5
D.1/16
【答案】A
【解析】第一步，本题考查几何概率问题。
第二步，如下图所示，赋值圆圈A的半径为4，则到圆心距离为圆A半径一半的圆B的半径为2，到圆心距离为圆A半径的1/4的圆C半径为1，根据面积的比等于半径之比的平方，可得圆A、B、C的面积之比为16∶4∶1，那么留在家看书的概率为

。

第三步，小波周末不在家看书的概率为

因此，选择A选项。
这两道题都是近两年考查几何概率的考题中比较简单的题目。近几年也考查过一些比较难的题目，这一类题目需要考生理解模型，从而在建造几何模型的过程中胸有成竹。当然如果考场上第一次遇见，没思路也可以放弃。
【例3】将一长度为L的线段任意截成三段，设P₁为所截的三线段能构成三角形的概率，P₂为所截的三线段不能构成三角形的概率，则下列选项正确的是：
A.P₁=P₂B.P₁＞P₂
C.P₁＜P₂ D.不能确定P₁、P₂的大小关系
【答案】C
【解析】第一步，本题考查几何概率问题。
第二步，如图，设线段长度为1，第一个点坐标为y，第二个点坐标为x，三条线段长度分别为y、x－y、1－x。

由于

，因此x、y的取值区间如图：

要让三条线段能够组成三角形，则需要两边之和大于第三边，用公式表达：

用图形表示：

中间阴影部分即为可以构成三角形的x、y取值。
第三步，根据图形面积可知，能够构成三角形的概率P₁为1/4，不能构成三角形的概率P₂为3/4，则P₁＜P₂。
因此，选择C选项。
本题难度十分大，但这道题在考场上也可以根据选项去选择：一根线段分成3截，两边之和与第三边的关系为：大于、等于或小于。三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，所以能构成三角形的概率小于不能构成的概率。
这种在直角坐标系里寻找几何概率的题目在公考中并不少见。无独有偶，2019年江苏考了一道与【例3】几乎一模一样的题目，只是选项更不好猜测。
【例4】将一根绳子任意分成三段,则此三段能构成一个三角形的概率是：
A.1/4 B.1/3
C.1/2 D.3/4
本题答案选择A，做法跟例3一模一样。本题难度很大，华图在线题库后台显示本题正确率只有18%。事实上可以根据选项相关，猜测答案为A、D中较小的那一个。
可以发现，几何概率如果给出了几何模型，就是简单的概率题目，必须拿分；如果需要在直角坐标系中自己构建模型，则可以根据选项猜测正确答案。在考场上不论什么方法，只要能选出正确答案，就是好方法。
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（编辑：Nicj）

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