巧用公式解决“三集合整体重复型”题目
2011-03-11 15:10 四川公务员考试网 http://sc.huatu.com/ 作者：四川华图 来源：华图教育
巧用公式解决“三集合整体重复型”题目
对于容斥原理类的题目，近年来在国家公务员行政职业能力测验中考的不少，纵观历年真题，我们可以发现，2006年考了一道三集合图示标数型，2007年考了两道两集合型题目，2009年考了一道三集合的题目，可以直接套用三集合标准型核心公式，2010和2011连续两年考了三集合整体重复型，因此，熟练掌握三集合整体重复型公式成为了做题关键。
首先我们来了解下什么是三集合整体重复型核心公式：
C
B
A
在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别时A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，根据右图可以得到下满两个等式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
下面我们来看几道典型的三集合整体重复型的题目。
【例1】（浙江2004-20）某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？
A. 15人 B.16人 C.17人 D.18人
【解析】A。此题有两种解法可以解出：
解一：如图，分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z，则只参加英语小组的人为17-5-x-y，只参加语文小组的人有30-5-x-z，只参加数学小组的人有13-5-y-z，则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参加的人的总和为总人数，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。则求x+y+z=15，所以只参加一个小组的人数的和为15。
解二：套用三集合整体重复型公式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
35=x+y+5
17+30+13=x×1+y×2+5×3
解得：x= 15，y=15
【例2】【江苏2009A类-19】某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是（ ）
A. 69 B.65 C.57 D.46
【解析】D。本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体重复型公式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
这里需要注意的是W=105，而非125，
105=x+y+24
89+47+63=x×1+y×2+24×3
两个方程，两个未知数，解出y=46，这里y表示只看过两部电影的人数，即所求。
【例3】【国2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？
A. 120 B.144 C.177 D.192
【解析】A。本题的特征也很明显，直接套用公式，只是要注意的是，题目中最后问的是接受调查的总人数，我们求出W之后，还需要再加上不参加其中任何一种考试的那15个人，
W=x+46+24
63+89+47=x×1+46×2+24×3
通过解方程，可以求出W=105，这只是至少准备参加一种考试的人数，所以接受调查的总人数为105+15=120。
【例4】【国2011-74】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？
A. 37 B.36 C.35 D.34
【解析】D.本题属于典型的三集合整体重复，直接套用公式：
W=x+7+1
8+10+9=x×1+7×2+1×3
可以解除W=18，所以至少有一项不合格的有18种，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有52-18=34。
在三集合整体重复型的题目中，我们需要辨认A、B、C，x、y、z具体指代什么，特别是需要搞清W是哪个量，这里再强调一遍，至少满足三个条件之一的元素的总量为W，而并非题目总量即为W，只要掌握这一点，这类题目即可迎刃而解。
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